Question

平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．
（1）写出点C的坐标；
（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；
（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据平行四边形的对边相等和已知点的坐标求得点C的坐标即可；
（2）首先求得直线AB的解析式，然后得到直线OC的解析式，联立后即可求得交点M的坐标；
（3）分别过点A、O作AD⊥BC于点D，OE⊥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，利用四边形AOBC是平行四边形，得到AO∥BC，从而得到四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，从而求得矩形AOED的面积为12，求得线段EF和线段OF后即可求得点E的坐标，从而求得点D的坐标．

解答：解：（1）∵四边形OACB是平行四边形，
∴AC=OB，
∵A（1，3）、B（4，0），
∴C（5，3）；

（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y=kx+b，
∵直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），
∴

k+b=3 4k+b=0

，
∴AB所在直线的解析式为y=-4x+4，
由于OC所在直线的表达式为y=

3

5

x，
联立方程

y=-4x+4 y= 3 5 x

解得：

x=2.5 y=1.5

即M的坐标是（2.5，1.5）；

（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．
分别过点A、O作AD⊥BC于点D，OE⊥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AO∥BC，
∴AD⊥AO，
∴四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，
∵平行四边形AOBC的面积为12，
∴矩形AOED的面积为12，
由勾股定理知AO=

10

，
∴OE=

12

10

，EB=

4

10

，
∴EF=

EB•OE

OB

=

4 10 × 12 10

4

=1.2，
OF=

OE2-EF2

=

144 10 -1.44

=3.6，
∴点E的坐标为（3.6，-1.2），
∴点D的坐标为（4.6，1.8）．

点评：此题主要考查四边形的综合知识、勾股定理等知识，综合性较强，而且有一定的拔高难度，属于难题，要求学生做题时一定要仔细，认真．