定义:如果一个的函数图象经过平移后能与反比例函数y=kx的图象重合.那么称这个函数是“反比例函数y=kx的平移函数．例如:y=1x-3+2的图象向左平移3个单位.再向下平移2个单位得到y=1x的图象.所以y=1x-3+2 是“反比例函数y=1x的平移函数．(1)两边分别是4cm.6cm的矩形.当它们分别增加xcm.ycm后.得到的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义：如果一个的函数图象经过平移后能与反比例函数y=

（k≠0）的图象重合，那么称这个函数是“反比例函数y=

的平移函数”．
例如：y=

x-3

+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到y=

的图象，所以y=

x-3

+2 是“反比例函数y=

的平移函数”．
（1）两边分别是4cm、6cm的矩形，当它们分别增加xcm、ycm后，得到的新矩形的面积为32cm²，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，反比例平移函数”y=

ax+b

x-4

的图象经过B、E两点（如图），则这个反比例平移函数的表达式为

；请写出能与这个“反比例平移函数”图象重合的反比例函数的表达式

．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线L交这个“反比例函数的平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先根据矩形的性质得出（x+4）（y+6）=32，再用x表示出y即可；
（2）把B（6，3），E（2，1）代入y=

ax+b

x-4

，可得出a，b的值，再用x表示出y，根据“反比例平移函数”的概念即可得出结论；
（3）当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，则四边形PEQB为平行四边形，由平行四边形的性质可知S_△PFB=4，由（2）可知 y=

2x-6

x-4

是“反比例函数y=

的平移函数”，显然?PEQB则会平移为对应?P₁E₁Q₁E，故S_△PBF=S_△PEO=4，过点E作x轴的垂线，交x轴于M点．过P作y轴的垂线交y轴于N点，则S_△P1OE=S_矩形MOCN+S_△CP1N-S_△MOE-S_△0CP1-s_△CP1N=4，再由反比例函数的性质得出a×b=2，S_矩形MOCN=3×2=6，S_△CP1N=

×2×（b-3），由此得出a、b的值，进而得出结论．

解答：

解：（1）∵（x+4）（y+6）=32，
∴y=

x+4

-6，
则把y=

x+4

-6 向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到y=

，
∴y=

x+4

-6是“反比例函数y=

的平移函数”；

（2）∵把B（6，3），E（2，1）代入y=

ax+b

x-4

，得a=2，b=-6，则y=

2x-6

x-4

∴y=

2(x-4)+2

x-4

，得 y=

x-4

+2，所以向左平移4个单位，再向下平移2个单位则得y=

．
故答案为：y=

2x-6

x-4

，y=

；

（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，则四边形PEQB为平行四边形．
∵四边形的面积为16，
∴S_△PFB=4，
∵由（2）可知 y=

2x-6

x-4

是“反比例函数y=

的平移函数”，显然?PEQB则会平移为对应?P₁E₁Q₁E，
∴S_△PBF=S_△PEO=4，
过点E作x轴的垂线，交x轴于M点．过P作y轴的垂线交y轴于N点．
S_△P1OE=S_矩形MOCN+S_△CP1N-S_△MOE-S_△0CP1-S_△CP1N=4，
设P₁（a，b），E（2，1）则显然：a×b=2，S_矩形MOCN=3×2=6，S_△CP1N=

×2×（b-3），
S_△MOE=

×1×2=1，S_△0CP1=

×3×a=，S_△CP1N=

×2×（2-a），
即：a×b=2①
6+

×2×（b-3）-1-

×3×a-

×2×（2-a）=3②，
由①和②得：a=1，b=3 （负值舍去）即：P₁（1，3），
∴P（4，5）
当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（12，

）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意得出“反比例函数y=

的平移函数”的定义是解答此题的关键．