题目内容
阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D，则sinB=
，sinC=
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
=
．同理有：
=
，
=
，所以
=
=
．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
如图1，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D，则sinB=
| AD |
| c |
| AD |
| b |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
（1）如图2，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题
专题：
分析：（1）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BD⊥AC于D，求出∠DBC=30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可；
（2）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．
（2）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．
解答：解：（1）如图，
依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，
=
，即
=
，
解之得：AB=15
．答：货轮距灯塔的距离AB=15
海里．
（2）过点B作AC的垂线BD，
在直角三角形ABD中，∠A=45°，AB=15
，
所以AD=15
，
在直角三角形BDC中，∠BCD=60°，BC=30°，可求得CD=15，所以AC=15
+15，
由题意得，
=
，sin75=
．
依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，
| AB |
| sin∠ACB |
| BC |
| sin∠A |
| AB |
| sin60 |
| 30 |
| sin45 |
解之得：AB=15
| 6 |
| 6 |
（2）过点B作AC的垂线BD，
在直角三角形ABD中，∠A=45°，AB=15
| 6 |
所以AD=15
| 3 |
在直角三角形BDC中，∠BCD=60°，BC=30°，可求得CD=15，所以AC=15
| 3 |
由题意得，
15
| ||
| sin75 |
15
| ||
| sin60 |
| ||||
| 4 |
点评：本题主要考查了方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点．
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