题目内容

阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D，则sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
b
sinB
=
c
sinC
．同理有：
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
，所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题
专题：
分析：（1）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BD⊥AC于D，求出∠DBC=30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可；
（2）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．
解答：解：（1）如图，
依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，
AB
sin∠ACB
=
BC
sin∠A
，即
AB
sin60
=
30
sin45
，
解之得：AB=15
6
．答：货轮距灯塔的距离AB=15
6
海里．

（2）过点B作AC的垂线BD，
在直角三角形ABD中，∠A=45°，AB=15
6
，
所以AD=15
3
，
在直角三角形BDC中，∠BCD=60°，BC=30°，可求得CD=15，所以AC=15
3
+15，
由题意得，
15
3
+15
sin75
=
15
6
sin60
，sin75=
6
+
2
4
．
点评：本题主要考查了方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点．
练习册系列答案
相关题目
已知不等式x≤a的解集中有4个非负整数，则a的取值范围为：
 
．
已知二次根式
x2
的值为4，那么的值是（　　）
A、4B、16C、-4D、4或-4
解方程：
2-x
3
=
3x2
2
+
x-1
4
．
平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．
（1）写出点C的坐标；
（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；
（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．
利用配方法解方程：x2+6x+m=0（m为任意实数）．
化简：（x-
4
x
）•
x
x-2
．它的结果可能为0，2，4吗？
解不等式：
1+3x
2
＞2x-1，并求其自然数解．
如图，第一个图形是用3根一样长度的木棍拼接而成的等边三角形ABC，第二个图形是用5根同样水棍拼揍成的；那么按图中所示的规律，在第n个图形中，需要这样的木棍的根数为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网