Question

6．已知：如图，正方形ABCD，DE⊥MF，求证：BM+CF=CE．

Answer 1

分析 先过点M作MG⊥DC于G，构造矩形BCGM，再根据矩形和正方形的性质，判定△DCE≌△MGF，得出GF=CE，最后根据GC=MB得出结论．

解答 证明：过点M作MG⊥DC于G，则∠MGC=90°
∵正方形BACD中，∠B=∠BCG=90°
∴四边形BCGM是矩形
∴MG=BC=DC，
∵DE⊥MF，
∴∠F+∠FDE=90°，
又∵Rt△DCE中，∠DEC+∠FDE=90°，
∴∠F=∠DEC，
在△DCE和△MGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEC}\\{∠MGF=∠DCE}\\{MG=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△MGF（AAS），
∴GF=CE，即GC+CF=CE，
又∵矩形BCGM中，GC=MB，
∴BM+CF=CE．

点评 本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作垂线，构造矩形BCGM，利用矩形的性质进行求解．