Question

5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4cm，若点E为Rt△ABC斜边AC上一动点，过点E作EF⊥AC，交直线AB于点F，将△AEF沿EF折叠，其中点A的对应点为A′，若使△A′BC为等腰三角形，则AE的长为2cm或（4-2$\sqrt{3}$）cm或（4+2$\sqrt{3}$）cm．

Answer 1

分析 解直角三角形得到∠A=60°，AC=8cm，BC=4$\sqrt{3}$cm，①当A′B=A′C时，如图1，推出△AA′B是等边三角形，于是得到AA′=4cm，根据折叠的性质即可得到AE=$\frac{1}{2}$A′A=2cm；②当A′C=BC=4$\sqrt{3}$cm时，如图2，由线段的和差得到AA′=8-4$\sqrt{3}$，求得AE=$\frac{1}{2}$AA′=（4-2$\sqrt{3}$）cm，AE=$\frac{1}{2}$AA″=（4+2$\sqrt{3}$）cm；③当A′B=BC时，这种情况不存在．

解答 解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，∵AB=4cm，
∴AC=8cm，BC=4$\sqrt{3}$cm，
①当A′B=A′C时，如图1，
∵∠AA′B=∠A′BC+∠C=60°，
∴∠A=∠AA′B，
∴△AA′B是等边三角形，
∴AA′=A′B=A′C=$\frac{1}{2}$AC，
∴AA′=4cm，
∵将△AEF沿EF折叠，其中点A的对应点为A′，
∴AE=$\frac{1}{2}$A′A=2cm；
②当A′C=BC=4$\sqrt{3}$cm时，如图2，
∵AC=8cm，
∴AA′=8-4$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AA′=（4-2$\sqrt{3}$）cm，
∵A″C=BC=4$\sqrt{3}$，
∴AA′=（8+4$\sqrt{3}$）cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AA′=（4+2$\sqrt{3}$）cm；
③当A′B=BC时，这种情况不存在，
∴若使△A′BC为等腰三角形，则AE的长为2cm或（4-2$\sqrt{3}$）cm或（4+2$\sqrt{3}$）cm．
故答案为：2cm或（4-2$\sqrt{3}$）cm或（4+2$\sqrt{3}$）cm．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．