Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，点O在AB上，以OB为半径的⊙O经过点E，交AB于点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=4，∠C=30°，求$\widehat{EF}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，利用角平分线的定义和圆的性质可得∠OBE=∠OEB=∠EBD，可证明OE∥BD，结合等腰三角形的性质可得AD⊥BD，可证得OE⊥AD，可证得AD为切线；
（2）利用（1）的结论，结合条件可求得∠AOE=30°，由（1）可知OE∥BD，设半径为r，则OB=OE=r，AO=4-r，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD，由平行线分线段成比例可得到关于r的方程，可求得圆的半径，利用弧长公式可求得$\widehat{EF}$．

解答 （1）证明：
如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBD，
∴∠OEB=∠EBD，
∴OE∥BD，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠OEA=∠BDA=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：
∵AB=AC=4，∠C=∠B=30°，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
设圆的半径为r，则BO=OE=r，AO=AC-OB=4-r，
∵OE∥BD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{4-r}{4}$=$\frac{r}{2\sqrt{3}}$，解得r=8$\sqrt{3}$-12，
∴${l}_{\widehat{EF}}$=$\frac{30π×（8\sqrt{3}-12）}{180}$=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2）π．

点评 本题主要考查切线的判定和弧长公式，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即当有切点时，连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，过圆心作距离证明距离等于半径．