Question

7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠ABC=60°，点E为CD边的中点，AF平分∠BAE，交BC边于点F，若AB=4，则线段BF的长为2（$\sqrt{7}$-1）．

Answer 1

分析 如图，作AG∥CD交BC于G，延长DG、AF交于点M，延长AE、BC交于点N，作AH⊥BC于H．先求出AN，AK，证明AK=KM，利用$\frac{KG}{AB}$=$\frac{KN}{AN}$=$\frac{2}{3}$，求出KG，根据$\frac{FG}{BF}$=$\frac{GM}{AB}$，列出方程，即可解决问题．

解答 解：如图，作AG∥CD交BC于G，延长DG、AF交于点M，延长AE、BC交于点N，作AH⊥BC于H．

∵AB=CD，
∴∠B=∠DCB=60°=∠AGB，
∴△ABG是等边三角形，四边形AGCD是菱形，
在Rt△ABH中，∵AB=4，∠B=60°，
∴BH=2，AH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AHN中，∵HN=10，AH=2$\sqrt{3}$，
∴AN=$\sqrt{A{H}^{2}+H{N}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∵DE=EC，AD∥CN，
∴△ADE≌△NCE，
∴GC=CN=AD，
∴$\frac{AK}{KN}$=$\frac{AD}{GN}$=$\frac{1}{2}$，
∴AK=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
∵AB∥DG，
∴∠M=∠BAM=∠MAE，
∴AK=KM=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
∵$\frac{KG}{AB}$=$\frac{KN}{AN}$=$\frac{2}{3}$，
∴KG=$\frac{8}{3}$，
∴GM=KM-KG=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$-$\frac{8}{3}$，设BF=x，
∵$\frac{FG}{BF}$=$\frac{GM}{AB}$，
∴$\frac{4-x}{x}$=$\frac{\frac{4\sqrt{7}}{3}-\frac{8}{3}}{4}$，
解得x=2（$\sqrt{7}$-1），
故答案为2（$\sqrt{7}$-1）．

点评 本题考查等腰梯形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用平行线分线段成比例定理，属于中考填空题中的压轴题．