Question

4．如图，?ABCD中，AB=2BC，点A，B为双曲线y=$\frac{12}{x}$在第一象限上的两个点，点C、D在坐标轴上．
（1）若点A的横坐标为x，点B的横坐标为y，求y关于x的函数关系式；
（2）若?ABCD为矩形，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据反比例函数的关系式设出A、B两点的坐标，根据平行四边形的性质及三角形全等写出点C和D的坐标，由AB=2BC和勾股定理列等式，可求出y关于x的函数关系式；
（2）如图2，利用（1）的结论，因为?ABCD为矩形，可证得△DOC∽△CEB，并知道相似比为2，列方程组，解出即可，并取舍，写出点A的坐标．

解答 解：（1）如图1，过B作BE⊥x轴于E，
由题意得：A（x，$\frac{12}{x}$），B（y，$\frac{12}{y}$），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，
∴C（y-x，0），D（0，$\frac{12}{x}$-$\frac{12}{y}$），
由勾股定理得：DC²=（y-x）²+（$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$）²，
BC²=x²+$（\frac{12}{y}）^{2}$，
∵AB=2BC，AB=CD，
∴AB²=4BC²，
∴（y-x）²+（$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$）²=4[x²+$（\frac{12}{y}）^{2}$]，
∴（x²y²+12²）（y-3x）（y+x）=0，
∵x＞0，y＞0，
∴y-3x=0，
∴y关于x的函数关系式为：y=3x；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，
由（1）得：OC=y-x，OD=$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$，CE=x，BE=$\frac{12}{y}$，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DCB=90°，
∴△DOC∽△CEB，
∵DC=2BC，
∴相似比为2，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{12}{x}-\frac{12}{y}=2x}\\{y-x=2×\frac{12}{y}}\end{array}\right.$      且x＞0，y＞0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
当x=2$\sqrt{3}$，y=2$\sqrt{3}$时，A、B重合，不能构成矩形，不符合题意，舍去，
∴A（2，6）．

点评 本题是反比例函数、平行四边形、矩形的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特点及平行四边形、矩形的性质；计算量较大；本题的关键是利用AB=2BC列式计算．