Question

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，CA平分∠BCD，∠B=60°，如果AD=3，那么梯形ABCD的周长为15．

Answer 1

分析 过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论．

解答 解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四边形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．
故答案为：15．

点评 本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．