Question

9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，AD＜BC，BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点，点P为边BC上的一个动点（点P与点B、C不重合）．
（1）如图1，当BP=2时，求证：△BEP∽△CPD；
（2）设PF交直线CD于点F，交直线AD于点M，∠EPF=∠C．
①如图2，当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
②当S_△BEP：S_△DMF=4：9，时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）欲证△BEP∽△CPD，可由梯形ABCD中AB=DC，得出∠B=∠C，根据相似三角形的判断两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，证明两组对应边的比相等即可；
（2）①求y关于x的函数解析式，通过证明△BEP∽△CPF，得出比例关系即可；
②求BP的长，分为两种情况：当点F在线段CD的延长线上时，证明△BEP∽△DMF，根据S_△BEP：S_△DMF=4：9，得到相似比，结合y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4（2＜x＜4）求解即可，当点F在线段CD上时，同前，求得当S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP时，BP的长为1．

解答 （1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴$\frac{EB}{CP}$=$\frac{BP}{CD}$，
∴△BEP∽△CPD．

（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BEP∽△CPF，
∴$\frac{EB}{CP}$=$\frac{BP}{CF}$．
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{y+4}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4．

②当点F在线段CD的延长线上时，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF，
∵S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP，
∴$\frac{DF}{BP}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{y}{x}$，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x-4，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程无实数根．
故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP；
当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，
∵S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP，
∴$\frac{DF}{BP}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{y}{x}$，
∵△BEP∽△CPF，
∴$\frac{EB}{CP}$=$\frac{BP}{CF}$，
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{4-y}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-3x+4，
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．
由于x₂=8不合题意舍去．
∴x=1，即BP=1．
∴当S_△DMF=$\frac{9}{4}$S_△BEP时，BP的长为1．

点评 本题考查相似三角形综合题、等腰梯形的性质、三角形的面积、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握相似三角形的性质，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．