Question

15．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长AO交BC于点M，交$\widehat{BC}$于点E，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）求证：∠BAP=∠CAP；
（2）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=9，BC=6，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）由AD是⊙O的切线，BC∥AD，易得AO⊥BC，然后由垂径定理求得$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，继而证得结论；
（2）过C点作直径CF，连接FB，由CF为直径得∠F+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠F，∠BCP=∠ACD，所以∠F=∠BCP，于是∠BCP+∠BCF=90°，然后根据切线的判断得到结论；
（3）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理求得BM与CM的长，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6$\sqrt{2}$，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r的值即可．

解答 （1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴OA⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAP=∠CAP；

（2）PC与圆O相切，理由为：
解：过C点作直径CF，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠FBC=90°，即∠F+∠BCF=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠F，∠BCP=∠ACD．
∴∠F=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCF=90°，即∠PCF=90°，
∴CF⊥PC，
∴PC与圆O相切；

（3）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6$\sqrt{2}$-r）²=r²，
解得：r=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$，
∴CF=2r=$\frac{27\sqrt{2}}{4}$，OM=6$\sqrt{2}$-$\frac{27\sqrt{2}}{8}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
∴BF=2OM=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$，
∵∠F=∠MCP，
∴△PCM∽△CFB，
∴PC：CF=CM：FB，
∴$\frac{PC}{\frac{27\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{3}{\frac{21\sqrt{2}}{4}}$，
∴PC=$\frac{27}{7}$．

点评 此题属于圆的综合题，考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线、利用方程思想求解是解此题的关键．