Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx+4经过点A（-2，0），B（6，0），与y轴交于C．
（1）a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，$\frac{16}{3}$）；
（2）M是AC的中点，MN⊥AC交x轴于N，求直线MN的解析式y=kx+b；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，当四边形ACPQ是轴对称图形时，求点P的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法先求出a、b，再求出对称轴和顶点坐标即可．
（2）根据两条直线垂直k的乘积为-1，利用待定系数法即可解决．
（3）如图①当四边形ACP₁Q₁是等腰梯形时，CP₁=AQ₁，AC∥P₁Q₁，设EQ₁=x，由△ACO∽△Q₁P₁E，得$\frac{AO}{{Q}_{1}E}$=$\frac{CO}{{P}_{1}E}$，列出方程解决问题．
②当四边形ACP₂Q₂是等腰梯形时，AC=P₂Q₂，P₂C∥AQ₂，求出点P纵坐标即可．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+4经过A（-2，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{36a+6b+4=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{4}{3}$x+4．
∴对称轴x=2，顶点（2，$\frac{16}{3}$）．
故答案分别为-$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$，x=2，（2，$\frac{16}{3}$）．
（2）∵M是AC中点，
∴点M坐标（-1，2），
∵直线AC解析式为y=2x+4，AC⊥MN
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线MN为y=-$\frac{1}{2}$x+b，把M（-1，2）代入得到b=$\frac{3}{2}$，
∴直线MN解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
（3）如图①当四边形ACP₁Q₁是等腰梯形时，CP₁=AQ₁，AC∥P₁Q₁，设EQ₁=x，
∵∠CAO=∠P₁Q₁E，∠AOC=∠P₁EQ₁，
∴△ACO∽△Q₁P₁E，
∴$\frac{AO}{{Q}_{1}E}$=$\frac{CO}{{P}_{1}E}$，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{{P}_{1}E}{4}$，
∴P₁E=2x，
∵CP₁=AQ₁，
∴x+2=$\sqrt{{2}^{2}+（4-x）^{2}}$，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴点P纵坐标为$\frac{14}{5}$．
②当四边形ACP₂Q₂是等腰梯形时，AC=P₂Q₂，P₂C∥AQ₂，此时点P纵坐标为4．
综上所述：当四边形ACPQ是轴对称图形时，点P的纵坐标为4或$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的性质、待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会画图，思考问题要全面，不能漏解，属于中考压轴题．