Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD+DM的最小值是$\frac{48}{5}$．

Answer 1

分析 如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD+DM最小，由△AOB∽△AME，得$\frac{EM}{BO}$=$\frac{AE}{AB}$即可解决问题．

解答 解：如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，
作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD+DM最小（垂线段最短）．
∵AB=AC=10，AE⊥BC，
∴BO=OC=8，AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴∠BAO=∠EAM，∵∠AOB=∠AME，
∴△AOB∽△AME，
∴$\frac{EM}{BO}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EM}{8}$=$\frac{12}{10}$，
∴EM=$\frac{48}{5}$，
∴AD+DM最小值为$\frac{48}{5}$，
故答案为$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型．