Question

18．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是$\widehat{BC}$的中点，过D作⊙O的切线交AC的延长线于E，DF⊥AB于F．
（1）求证：DE⊥AE；
（2）若OF=4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OD利用垂径定理可知OD⊥BC，由于DE是⊙O的切线，所以可证BC∥DE，从而可知DE⊥AE；
（2）设OD与BC交于点G，易证明△DOF≌△BOG，从而可知OF=OG，利用中位线的性质即可求出AC的长度．

解答 解：（1）连接OC、OD，
∵D是$\widehat{BC}$的中点，OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDO=∠OGC=90°，
∴DE∥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCA=∠DEC=90°，
∴DE⊥AE；
（2）设OD与BC交于点G，
∵DF⊥AB
∴∠DFO=90°，
在△DOF与△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠BGO}\\{∠DOF=∠BOG}\\{OD=OB}\end{array}\right.$
∴△DOF≌△BOG（AAS）
∴OF=OG=4，
∵O是AB的中点，OG∥AC，
∴OG是△ABC的中位线，
∴AC=2OG=8

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的判定，全等三角形的判定与性质，切线的判定等知识，综合程度较高，属于中等题型．