Question

7．如图，AD是△ABC的高，∠BAC的平分线AM的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点E．过点E作⊙O的切线EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若AC=4cm，AB=3cm，AD=2.5cm，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，如图，利用角平分线的定义得到∠CAE=∠BAE，则$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，根据垂径定理的推论得到OE⊥BC，再根据切线的性质得OE⊥EF，所以EF∥BC；
（2）作直径AH，连接CH，如图，利用圆周角定理得到∠AHC=90°，∠AEC=∠B，则可证明Rt△AHC∽Rt△ABD，然后利用相似比可计算出AH，从而得到⊙O的半径长．

解答 （1）证明：连接OE，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴OE⊥BC，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF∥BC；

（2）作直径AH，连接CH，如图，
∵AH为直径，
∴∠AHC=90°，
∵AD为高，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠B，
∴Rt△AHC∽Rt△ABD，
∴AH：AB=AC：AD，即AH：3=4：2.5，解得AH=$\frac{24}{5}$，
∴⊙O的半径长为$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．