Question

3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A，D重合），点F在边CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圆⊙O与CD边相切．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求△BEF的面积．

Answer 1

分析 （1）将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，由已知得出△BPE≌△BFE，进而得出△AEB≌△QEB，利用中位线出AE的长，由勾股定理求出BE，即可得出半径；
（2）由C_△EFD=4，利用勾股定理得出DF的长，即可求出△BEF的面积．

解答 解：（1）将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，如图所示：

在△BPE与△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=BF}&{\;}\\{∠PBE=∠EBF}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△BFE（SAS），
∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，
在△AEB和△QEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠BQE}&{\;}\\{∠AEB=∠BEQ}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△QEB（AAS），
∴BQ=AB=2，
由PE=EF可知，
C_△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，
设AE=a，则DE=2-a，BE=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
∵O为BE中点，且MN∥AD，
∴ON=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{a}{2}$，
∴OM=2-$\frac{a}{2}$，
又BE=2OM，
∴$\sqrt{4+{a}^{2}}$=4-a，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴ED=$\frac{1}{2}$，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半径长=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{4}$；

（2）∵C_△EFD=4，设DF=b，
∴EF=4-b-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$-b，
在Rt△EDF中，（$\frac{1}{2}$）²+b²=（$\frac{7}{2}$-b）²，
解得b=$\frac{12}{7}$，
∴EF=$\frac{7}{2}$-$\frac{12}{7}$=$\frac{25}{14}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{14}$×2=$\frac{25}{14}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，利用三解形全等及方程灵活的求解．