Question

6．在平行四边形ABCD内取一点，使得∠ABE=∠EDA，求证：∠BAE=∠BCE．

Answer 1

分析 作EF∥BC，CF∥BE，EF与CF相交于F，连接DF，则四边形BEFC为平行四边形，再由四边形ABCD为平行四边形，易证四边形AEFD为平行四边形，得出BE=CF，AE=DF，∠DEF=∠EDA，由SSS证得△ABE≌△DCF，得出∠BAE=∠CDF，∠ABE=∠DCF，证得∠DEF=∠DCF，则E、D、F、C四点共圆，推出∠CDF=∠CEF，即可得出结论．

解答 证明：作EF∥BC，CF∥BE，EF与CF相交于F，连接DF，如图所示：
∵EF∥BC，CF∥BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴∠BCE=∠CEF，BC∥EF，BC=EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，BC∥AD，BC=AD，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴BE=CF，AE=DF，∠DEF=∠EDA，
在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{AE=DF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠BAE=∠CDF，∠ABE=∠DCF，
∵∠ABE=∠EDA，∠DEF=∠EDA，
∴∠DEF=∠DCF，
∴E、D、F、C四点共圆，
∴∠CDF=∠CEF，
∵∠BCE=∠CEF，∠BAE=∠CDF，
∴∠BAE=∠BCE．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质等知识，通过作辅助线构建平行四边形是解决问题的关键．