Question

15．（1）如图1所示，平行四边形纸片ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D是矩形．
（2）如图2所示，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．
①求证：四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D两条对角线的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的判定，可得答案；
（2）①根据菱形的判定，可得答案；
②根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）纸片?ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，
过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，
则四边形AEE′D的形状为矩形，
故答案为：矩；

（2）①证明：∵纸片?ABCD中，AD=5，S_?ABCD=15，
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∴AE=3．
如图2：
∵△AEF，将它平移至△DE′F′，
∴AF∥DF′，AF=DF′，
∴四边形AFF′D是平行四边形．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AF=AD=5，
∴四边形AFF′D是菱形；
②连接AF′，DF，如图3：
在Rt△DE′F中E′F=FF′-E′F′=5-4=1，DE′=3，
∴DF=$\sqrt{E′{D}^{2}+E′F{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，
∴AF′=$\sqrt{A{E}^{2}+F′{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、图形的剪拼、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．