Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径做⊙O分别交AC，BM于点D、E．
（1）求证：∠MDE=∠MED；
（2）填空：
①若AB=6，当DM=2AD时，DE=4；
②连接OD、OE，当∠C的度数为30°时，四边形ODME是菱形．

Answer 1

分析 （1）由于∠ABC=90°，M是AC的中点，BM=AM=MC，从而可知∠A=∠ABM，根据圆内接四边形的性质即可得出∠MDE=∠MED；
（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，由于DE∥AB，所以$\frac{DE}{AB}=\frac{MD}{MA}$，又因为DM=2AD，从而可求出DE的长度；
②当∠C=30°时，此时∠A=60°，所以△AOD是等边三角形，利用等边三角形的性质即可证明OD=OE=EM=DM，从而可知四边形OEMD是菱形．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AM=MC，
∴∠A=∠ABM，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
又∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA，
同理证明：∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
（2）①4，
由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{MD}{MA}$
∵DM=2AD，
∴DM：MA=2：3，
∴DE=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$×6=4．
②当∠C=30°时，四边形ODME是菱形．
连接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等边三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四边形OEMD是菱形．
故答案为：（2）①4；②30°

点评 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，平行线的性质与判定，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．