Question

抛物线y=x²+bx+c与直线y=x交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）试证明：c＞0；
（2）试比较b²与2b+4c的大小；
（3）若c=

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，AB=2，试确定抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：（1）先将y=x²+bx+c代入y=x，整理得出x²+（b-1）x+c=0，由根与系数的关系得出x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=c，由x₁＞0，x₂-x₁＞1，利用不等式的性质即可证明c=x₁•x₂＞0；
（2）先求出b²-（2b+4c）=b²-2b-4c=（1-b）²-4c-1，再将x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=c代入，得出b²-（2b+4c）=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂-1=（x₂-x₁）²-1，由x₂-x₁＞1，得出（x₂-x₁）²＞1，进而得出b²＞2b+4c；
（3）将c=

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代入得y=x²+bx+

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2

，由AB=2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据两点间的距离公式得出（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=4，将y₁=x₁，y₂=x₂代入，得到（x₂-x₁）²=2，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，再把x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=c=

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2

代入，得出（1-b）²-4×

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2

=2，解方程求出b=-1或3，根据x₁＞0，x₂-x₁＞1，得到x₁+x₂=1-b＞1，b＜0，于是确定b=-1，进而得到抛物线的解析式．

解答：（1）证明：将y=x²+bx+c代入y=x，得x=x²+bx+c，
整理得x²+（b-1）x+c=0，
∵抛物线y=x²+bx+c与直线y=x交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
∴x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=c，
∵x₂-x₁＞1，
∴x₂＞x₁+1，
∵x₁＞0，
∴x₂＞0，
∴c=x₁•x₂＞0；

（2）解：∵b²-（2b+4c）=b²-2b-4c=（b-1）²-1-4c=（1-b）²-4c-1，
∵x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=c，
∴b²-（2b+4c）=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂-1=（x₂-x₁）²-1，
∵x₂-x₁＞1，
∴（x₂-x₁）²＞1，
∴b²-（2b+4c）＞0，
∴b²＞2b+4c；

（3）解：∵c=

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，
∴y=x²+bx+

1

2

，
∵AB=2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=4，
∵y₁=x₁，y₂=x₂，
∴（x₂-x₁）²=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，
∵x₁+x₂=1-b，x₁•x₂=c=

1

2

，
∴（1-b）²-4×

1

2

=2，
∴b=-1或3，
∵x₁＞0，x₂-x₁＞1，
∴x₁+x₂=1-b＞1，
∴b＜0，
∴b=-1，
∴抛物线的解析式是y=x²-x+

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2

．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，两点间的距离公式，不等式的性质，难度适中．