Question

如图，BA平分∠CAD，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，E是AB上一点．
（1）证明：EB平分∠CED；
（2）当E点在AB的延长线上或AB的反向延长线时，上述结论成立么？请证明．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先由角平分线上的点到角两边的距离相等得出BC=BD，再利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ABD，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABC=∠ABD．再根据SAS证明△BCE≌△BDE，得出∠BEC=∠BED，即EB平分∠CED；
（2）当E点在AB的延长线上或AB的反向延长线时，上述结论仍然成立．当E点在AB的延长线上时，先由（1）知∠ABC=∠ABD，根据等角的补角相等得出∠EBC=∠EBD，再根据SAS证明△BCE≌△BDE，得出∠BEC=∠BED，即EB平分∠CED；当E点在AB的反向延长线时，先由（1）知∠ABC=∠ABD，BC=BD．再根据SAS证明△BCE≌△BDE，得出∠BEC=∠BED，即EB平分∠CED．

解答：（1）证明：∵BA平分∠CAD，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，
∴BC=BD．
在Rt△ABC和Rt△ABD中，

AB=AB BC=BD

，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
∴∠ABC=∠ABD．
在△BCE和△BDE中，

BC=BD ∠EBC=∠EBD BE=BE

，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BEC=∠BED，
即EB平分∠CED；

（2）解：当E点在AB的延长线上或AB的反向延长线时，上述结论仍然成立．理由如下：
当E点在AB的延长线上时，如图1．
由（1）知∠ABC=∠ABD，BC=BD，
∴180°-∠ABC=180°-∠ABD，即∠EBC=∠EBD．
在△BCE和△BDE中，

BC=BD ∠EBC=∠EBD BE=BE

，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BEC=∠BED，
即EB平分∠CED；
当E点在AB的反向延长线时，如图2．
由（1）知∠ABC=∠ABD，BC=BD．
在△BCE和△BDE中，

BC=BD ∠EBC=∠EBD BE=BE

，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴∠BEC=∠BED，
即EB平分∠CED．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，补角的性质，难度适中．正确画出图形利用数形结合是解题的关键．