Question

如图所示，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1．下列结论：
①2a-b＜0；②a＜

b+c

2

；③a＜-1；④b²+8a＞4ac．
其中正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①由图示知，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，
又∵对称轴x=-

b

2a

＞-1．
∴b＞2a，
∴2a-b＜0．
故①正确；

②由①知，2a＜b．
∵由图知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
∴2a＜b+c，
∴a＜

b+c

2

．
故②正确；

③由图知，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），则a-b+c=2，（1）
由已知得，0＜x₂＜1．当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，（2）
由已知得，-2＜x₁＜-1．当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0．（3）
联立（1）、（2）得到 a+c＜1．（4）
联立（1）、（3）得到2a-c＜-4，（5）
联立（4）、（5）得到3a＜-3，
则a＜-1．
故③正确；

④如图所示，∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且点（-1，2）不是顶点，
∴

4ac-b2

4a

＞2，
∵a＜0，
∴4ac-b²＜8a．
∴b²+8a＞4ac．
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．