Question

如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动，设运动的时间为t．
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）t为何值时，P、Q两点之间的距离是6

5

m？
（3）在移动的过程中，PQ能否将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）根据矩形的性质，根据等量关系：AP=DQ，列出方程即可求解；
（2）根据勾股定理，根据等量关系：P、Q两点之间的距离是6

5

m，列出方程即可求解；
（3）分两种情况：梯形ADQP的面积：矩形ABCD的面积=1：3；梯形BCQP的面积：矩形ABCD的面积=2：3；进行讨论即可求解．

解答：解：（1）依题意有
3t=16-2t，
解得t=3.2．
故t为3.2s时，四边形APQD为矩形．
（2）依题意有
（3t-16+2t）²+6²=（6

5

）²，
解得t₁=5.6（不合题意舍去），t₂=0.8．
故t为0.8时，P、Q两点之间的距离是6

5

m．
（3）梯形ADQP的面积：矩形ABCD的面积=1：3，依题意有
3t（16-2t）：（16×6）=1：3，
解得t₁=

12+4 6

3

（不合题意舍去），t₂=

12-4 6

3

；
梯形BCQP的面积：矩形ABCD的面积=2：3，依题意有
3t（16-2t）：（16×6）=2：3，
解得t₁=

12+4 3

3

（不合题意舍去），t₂=

12-4 3

3

．
故t的值是

12-4 6

3

或

12-4 3

3

．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质及判定，勾股定理，梯形的面积等知识，综合性较强，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．