Question

如图，等腰直角△ABC和等腰直角△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，现将△ADE绕点A逆时针转动．
（1）如图1，当AD⊥BC时，求证：△ADM是等腰直角三角形；
（2）如图2，当点D落在BC上时，连接EC，求∠ACE的度数；
（3）如图3，当点D落在AC上时，连接BD，CE，并取BD，CE的中点M，N，若AD=1，AB=

3

，则MN=

 

（请直接写出答案）

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）如图1，证明∠MAD=∠D=45°，即可解决问题．
（2）如图2，证明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠B=45°，即可解决问题．
（3）如图3，证明∠MAN=90°，此为解题的关键性结论；求出AM=AN=1，运用勾股定理即可解决问题．

解答：解：（1）由题意得∠B=∠D=45°；
∵AD⊥BC，
∴∠DAB+∠B=90°
∴∠DAB=45°，
∴∠MAD=90°-45°=45°，
∴∠AMD=90°，且AM=DM，
即△ADM是等腰直角三角形．
（2）由题意得：∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE；
在△ACE与△ABD中，

AC=AB ∠EAC=∠DAB AE=AD

，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°．
（3）如图3，连接AM、AN；
类比（2）中的方法，同理可证△AEC≌△ADB，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD（设为α）；
∵点M、N分别为BD、CE的中点，
∴AN=CN，AM=DM，
∴∠NAC=∠NCA=α，∠MAD=∠MDA（设为β）；
在△ABD中，∵α+β=90°，
∴∠MAN=α+β=90°；
由勾股定理得：BD2=12+(

3

)2=4，
∴BD=2，AM=

1

2

BD=1；同理可求AN=1；
由勾股定理得：MN=

12+12

=

2

．
故答案为

2

．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．