Question

16．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，BE=2，DF=3．求：
（1）?ABCD的周长；
（2）S_?ABCD；
（3）AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和为360°，求得∠C；根据平行四边形的对边平行，可得∠B与∠C互补，即可求得∠B=60°，在直角三角形ABE中求得AB的长，同理求得AD的长，继而求得平行四边形ABCD的周长；
（2）S_?ABCD=CD•AF，即可得出结果；
（3）由（1）得出AF=3$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，
∴∠AEB=∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠C=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAE=∠FAD=30°，
∵BE=2，FD=3，
∴AB=4，BC=AD=6，AF=$\sqrt{3}$DF=3$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的周长为=2（AB+BC）=20，
（2）S_?ABCD=CD•AF=4×3$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$；
（3）由（1）得：AF=3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，正确求得∠B和∠DAF的度数是关键．