Question

11．n次多项式f（x）如果满足f（a）=0，则该多项式一定能因式分解，且x-a是其中一个因式，利用此原理分解因式2x³+x²-4x-3=（x+1）²（2x-3）．

Answer 1

分析 把x=-1代入多项式2x³+x²-4x-3=0，得出（x+1）（ax²+bx+c）=0，进一步展开对应的出a、b、c的数值，同理可将ax²+bx+c继续分解可得．

解答 解：∵当x=-1时，2x³+x²-4x-3=-2+1+4-3=0，
∴x+1是2x³+x²-4x-3的一个因式，
即：（x+1）（ax²+bx+c）=ax³+（a+b）x²+（b+c）x+c=2x³+x²-4x-3，
则$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{a+b=1}\\{b+c=-4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故2x³+x²-4x-3=（x+1）（2x²-x-3），
又∵当x=-1时，2x²-x-3=2+1-3=0，
∴x+1是2x²-x-3的一个因式，
即：（x+1）（mx+n）=mx²+（m+n）x+n=2x²-x-3，
可得：m=2，n=-3，
故2x²-x-3=（x+1）（2x-3）
综上，2x³+x²-4x-3=（x+1）（2x²-x-3）
=（x+1）（x+1）（2x-3）
=（x+1）²（2x-3），
故答案为：（x+1）²（2x-3）．

点评 此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．