Question

19．阅读下列材料，解答下列问题：
材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．
公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a²+2ab+b²，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）²的形式，我们称a²+2ab+b²为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：
x²+2ax-3a²
=x²+2ax+a²-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=（x+3a）（x-a）
材料2．因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则
原式=A²+2A+1=（A+1）²
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）²．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把c²-6c+8分解因式；
（2）结合材料1和材料2完成下面小题：
①分解因式：（a-b）²+2（a-b）+1；
②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3．

Answer 1

分析 （1）根据材料1，可以对c²-6c+8分解因式；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（a-b）²+2（a-b）+1分解因式；
②根据材料1和材料2可以对（m+n）（m+n-4）+3分解因式．

解答 解：（1）c²-6c+8
=c²-6c+3²-3²+8
=（c-3）²-1
=（c-3+1）（c-3+1）
=（c-4）（c-2）；
（2）①（a-b）²+2（a-b）+1
设a-b=t，
则原式=t²+2t+1=（t+1）²，
则（a-b）²+2（a-b）+1=（a-b+1）²；
②（m+n）（m+n-4）+3
设m+n=t，
则t（t-4）+3
=t²-4t+3
=t²-4t+2²-2²+3
=（t-2）²-1
=（t-2+1）（t-2-1）
=（t-1）（t-3），
则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．

点评 本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．