Question

20．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=2，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD等于（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出图中的所有角，得到AD=BD=BC，易得△ABC∽△BCD，利用相似三角形的性质得$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$，用等线段代换得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{AD}$，则根据黄金分割的定义可判断点D为AC的黄金分割点，所以AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}$-1．

解答 解：∵AB=AC=2，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}$-1．
故选A．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．