Question

3．若1≤x≤3时，二次函数y=2x²-3ax+4的最小值为-23，则a=5．

Answer 1

分析 分类讨论①当x=1取得最小值．②当x=3取得最小值．③当$\frac{32-9{a}^{2}}{8}$=-23．然后画出草图判定是否符合题意即可．

解答 解：∵1≤x≤3时，二次函数y=2x²-3ax+4的最小值为-23，
∴最小值可能在x=1或3时得到，或最小值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
①当x=1取得最小值，2-3a+4=-23，a=$\frac{29}{3}$，此时对称轴x=$\frac{29}{4}$，x=3时有最小值，所以不合题意．
②当x=3取得最小值，18-9a+4=-23，a=5，符合题意．
③当$\frac{32-9{a}^{2}}{8}$=-23，a=±2$\sqrt{6}$，a=2$\sqrt{6}$时，对称轴x=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，x=3时有最小值，不符合题意，
当a=-2$\sqrt{6}$时，对称轴x=-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，x=1时有最小值，不符合题意．
∴a=5，
故答案为5．

点评 本题考查二次函数的最值问题、解题的关键是学会分类讨论，注意这个最小值可以在区间的端点x=1或x=3时取得，属于中考常考题型．