Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（　　）

• A． y=-$\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}$
• B． y=-x+$\frac{2}{3}$
• C． y=-$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
• D． y=-2x+$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．

解答 解：∵点A（0，4）、B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，
∴OA′=A′B-OB=2，
∵∠A′OC=∠AOB=90°，
∴△A′OC∽△AOB，
∴$\frac{OA′}{OA}=\frac{OC}{OB}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{OC}{3}$，
解得：OC=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为：（0，$\frac{3}{2}$），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
故选C．

点评 此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．