Question

8．观察下列各式，发现规律：
$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；…
（1）填空：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）计算（写出计算过程）：$\sqrt{2014+\frac{1}{2016}}$；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；
（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
故答案为：5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）$\sqrt{2014+\frac{1}{2016}}$=$\sqrt{\frac{2014×2016+1}{2016}}$=$\sqrt{\frac{（2015+1）×（2015-1）+1}{2016}}$=$\sqrt{\frac{201{5}^{2}-1+1}{2016}}$=2015$\sqrt{\frac{1}{2016}}$；
（3）归纳总结得：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（自然数n≥1）．

点评 此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．