Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上一点，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，交AC的延长线于点G，连接DF，BG，∠EDF=45°．
求证：（1）BF=AG；
（2）∠DFB=∠GBF．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠ABC=∠AGE，然后结合题干条件利用AAS证明△EBF≌△EGA，于是得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质得到BE=EG，进而得到∠EBG=∠EGB，于是得到∠EDF=∠EBG，利用平行线的知识得出结论．

解答 解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠DEF=∠AEF=90°，DE=AE，
∵∠EDF=45°，
∴∠EDF=∠DFE=45°，
∴DE=EF，
∵DE=AE，
∴AE=EF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠A+∠AGE=90°，
∴∠ABC=∠AGE，
在△AEG和△FEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠EGA}\\{∠BEF=∠GEA}\\{EF=AE}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EGA，
∴BF=AG；
（2）由（1）知△EBF≌△EGA，
∴BE=EG，
∴∠EBG=∠EGB，
∵∠BEG=90°，
∴∠EBG=∠EGB=45°，
∵∠EDF=45°，
∴∠EDF=∠EBG，
∴DF∥BG，
∴∠DFB=∠GBF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解（1）问的关键是利用AAS证明△EBF≌△EGA，解（2）问的关键是证明出∠EDF=∠EBG，此题难度一般．