Question

18．观察下列各式：
（x-1）÷（x-1）=1；
（x²-1）÷（x-1）=x+1；
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1；
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1；
…
（x⁸-1）÷（x-1）=x⁷+x⁶+x⁵+…+x+1；
（1）根据上面各式的规律填空：
①（x²⁰¹⁶-1）÷（x-1）=x²⁰¹⁵+x²⁰¹⁴+x²⁰¹³+…+x+1
②（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+x+1
（2）利用②的结论求2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+1的值；
（3）若1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0，求x²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的条件可以解答①②两题；
（2）根据题意可以求得2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+1的值；
（3）1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0和题目中的条件，可以求得x²⁰¹⁶的值．

解答 （1）①由题意可得，
（x²⁰¹⁶-1）÷（x-1）=x²⁰¹⁵+x²⁰¹⁴+x²⁰¹³+…+x+1；
②（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+x+1；
故答案为：①x²⁰¹⁵+x²⁰¹⁴+x²⁰¹³+…+x+1；②x^n-1+x^n-2+…+x+1；
（2）解：2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+1
=（2²⁰¹⁷-1）÷（2-1）
=2²⁰¹⁷-1；                   
（3）解：∵1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=（x²⁰¹⁶-1）÷（x-1），1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0，
∴x²⁰¹⁶-1=0，
∴x²⁰¹⁶=1．

点评 本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．