Question

16．在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．
（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质即可；
（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB²+BM²=FM²，再判断出FM=MN即可；
（3）利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG，再利用（2）证明即可．

解答 解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
（2）①依题意补全图形，如图1所示，

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM²+MD²=MN²，
将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，
在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB²+BM²=FM²，
∵旋转△ANE得到AB₁E₁，
∴∠E₁AB₁=45°，
∴∠BAB₁+∠DAN=90°-45°=45°，
∵∠BAF=DAN，
∴∠BAB₁+∠BAF=45°，
∴∠FAM=45°，
∴∠FAM=∠E₁AB₁，
∵AM=AM，AF=AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM=MN，
∵FB²+BM²=FM²，
∴DN²+BM²=MN²，
（3）如图2，

将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴DF=GB，
∵正方形ABCD的周长为4AB，
△CEF周长为EF+EC+CF，
∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，
∴4AB=2（EF+EC+CF），
∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB-BE，CF=AB-DF，
∴2AB=EF+AB-BE+AB-DF，
∴EF=DF+BE，
∵DF=GB，
∴EF=GB+BE=GE，
由旋转得到AD=AG=AB，
∵AM=AM，
∴△AEG≌△AEF，
∠EAG=∠EAF=45°，
和（2）的②一样，得到DN²+BM²=MN²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形的全等，判断出三角形全等（△AFM≌△ANM，得到FM=MM），是解本题关键．