Question

6．在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．
（1）如图1，若∠ADB=120°，AC=$\sqrt{3}$，求DE的长；
（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE=2EF；
（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，求证：AE²+$\frac{1}{4}B{E}^{2}=\frac{1}{4}A{D}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质，计算出∠ABC=∠C=30°，再由正切值计算即可；
（2）先判断出△ABE≌△CAD，再判断出△AGE是等腰三角形，计算即可；
（3）先判断出△ABN≌△ACD，再由勾股定理即可．

解答 解：（1）∵DA=DB，∠ADB=120°，
∴∠ABC=∠BAD=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC×tan30°=1，AE=CD=2AD=2，
∴DE=AE-AD=1，
（2）如图，过A作AG∥BC，

∵DB=DA，AB=AC，
∴∠BAD=∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠BAD=∠ACB，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴BE=AD，
∵BE=2CD，
∴AD=2CD=2AE，
∴AE=DE，
∵AG∥BC，
∴∠G=∠DCE，∠GAE=∠CDE，
∴△AGE≌△DCE，
∴GE=CE，AG=CD=AE，
∴△AGE为等腰三角形，
∴∠GAF=∠ABC=∠BAD，
∴F为GE的中点，
∴CE=EG=2EF．
（3）如图3，

取BE中点M，延长AM至N，使MN=AM，连接BN，EN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴AE∥BN，
∴∠NBC=∠D，
∵AB=AC，DB=DA，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD，
∴∠BAC=∠D=∠NBC，
∵∠BAN=∠NBC+∠ABC，
∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠ABN=∠ACD，
∵BN=AE=CD，AB=AC，
∴△ABN≌△ACD，
∴AD=AN=2AM，
∵BE⊥AD，
∴AE²+ME²=AM²，
∴AE²+（$\frac{1}{2}BE$）²=（$\frac{1}{2}$AN）²，
∴AE²+$\frac{1}{4}B{E}^{2}=\frac{1}{4}A{D}^{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，勾股定理，判断三角形全等（如：△AGE≌△DCE，△AGE≌△DCE，△ABN≌△ACD）是解本题的关键．