Question

18．设关于x的方程x²+（a-3）x+3a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜2＜x₂，那么a的取值范围是a＜$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根据根的判别式求出a的取值范围，再根据根与系数的关系求出a的取值范围，求其公共解即可．

解答 解：∵关于x的方程x²+（a-3）x+3a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴△=（a-3）²-4•3a=a²-6a+9-12a=a²-18a+9＞0；
解得a＜9-6$\sqrt{2}$或a＞9+6$\sqrt{2}$；
又∵x₁＜2＜x₂，
∴x₁-2＜0，x₂-2＞0，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4＜0，
根据根与系数的关系得，3a-2×（3-a）+4＜0，
解得a＜$\frac{2}{5}$，
综上，a＜$\frac{2}{5}$．
故答案为a＜$\frac{2}{5}$．

点评 此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将二者结合是解题常用的方法．