Question

7．如图，点P为反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）图象上一点，以点P为圆心作圆，且该圆恰与两坐标轴都相切．在y轴任取一点E，连接PE并过点P作直线PE的垂线与x轴交于点F，则线段OE与线段OF的长度可能满足的数量关系式是OF-OE=2或OE-OF=2或OF+OE=2．

Answer 1

分析 利用P点在双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）图象上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点，再利用△BPE≌△APF分三种情况列出OE与OF之间的关系即可．

解答 解：∵点P在双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，
∴P（ 1，1），
又∵PF⊥PE，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPE+∠EPA=90°，
∴∠EPA+∠FPA=90°，
∴∠FPA=∠BPE，
在△BPE和△APF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPB=∠FPA}\\{BP=AP}\\{∠EBP=∠PAF}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△APF，
∴AF=BE，
①当F在x轴的正半轴，且OF＞1时，则有OF-OA=OB+OE，
即OF-1=1+OE，
∴OF-OE=2，
②当F在x轴的负半轴时，则有OF+OA=OE-OB，
即OF+1=OE-1，
∴OE-OF=2，
③当F在x轴的正半轴，且OF＜1时，则有OA-OF=OE-OB，
即1-OF=OE-1，
∴OF+OE=2，
综上，线段OE与线段OF的长度可能满足的数量关系式是：OF-OE=2或OE-OF=2或OF+OE=2，
故答案为：OF-OE=2或OE-OF=2或OF+OE=2．

点评 此题主要考查了反比例函数与全等三角形的判定与性质的综合运用，同学们要熟练掌握反比例函数的性质，此题难度较大．