Question

4．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．
（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．

解答 （1）解：如图所示，

（2）相切；理由如下：
证明：连结OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
即BC是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定以及基本作图，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．