Question

18．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PD⊥OA于点D，点E（8，2），F（0，6），连接PE、PF、EF．
（1）直接写出抛物线和直线EF的解析式．
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的和为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的和为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
（3）小明进一步探究得出结论：
①使得PD-PE最大的点P是否存在？若存在求出点P的坐标，否则说明理由．
②若将“使△PEF得面积为整数”的点P记作“好点”，且存在多个“好点”，请直接写出所有“好点”的个数，求出使得△PEF的面积最大的好点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式和直线解析式；
（2）设出点P的坐标，用勾股定理计算即可；
（3）由y=-$\frac{1}{2}$x+6与y=-$\frac{1}{8}$x²+8求出交点坐标，建立S_△PEF与m的函数关系式即可．

解答 解：（1）∵正方形的边长为8，
∴OC=OA=8，
∴A（8，0），C（0，8）
设抛物线的解析式为y=ax²+8，
∵点A在抛物线上，
∴0=a×64+8，
∴a=-$\frac{1}{8}$，
∴y=-$\frac{1}{8}$x²+8，
∵点E（8，2），F（0，6），
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+6；
（2）猜想正确；
理由：设P（m，-$\frac{1}{8}$m²+8），
根据勾股定理得，PF=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{8}{m}^{2}+8-6）^{2}}$=$\frac{1}{8}$m²+2，PD=-$\frac{1}{8}$m²+8，
则PF+PD=10，
（3）①存在．
∵PD-PE=10-PF-PE=10-（PF+PE），PE+PF≥EF，EF=4$\sqrt{5}$，
∴PD-PE≤10-EF=10-4$\sqrt{5}$，
当F、P、D三点共线时，PD-PE有最大值10-4$\sqrt{5}$．
∵y=-$\frac{1}{2}$x+6与y=-$\frac{1}{8}$x²+8，
∴x=2+2$\sqrt{5}$，或x=2-2$\sqrt{5}$（舍），
∴P的坐标为P（2+2$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$）；
②设△PEF的面积为S，PD与EF交于点G，G（m，-$\frac{1}{2}$m+6），
当点P在直线EF上方时，S_△PEF=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{8}$m²+8+$\frac{1}{2}$m-6）=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+10，
∴当m=2时，S的最大值为10，此时P（2，7.5）
∴0≤m＜2+2$\sqrt{5}$，0＜S_△PEF≤10．
∴由对称性知，好点有12个；
当点P在直线EF下方时，S_△PEF=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{8}$m^2-8+$\frac{1}{2}$m+66）=$\frac{1}{2}$（m-2）^2_-10．
2+2$\sqrt{5}$＜m≤8，
∴0＜S_△PEF≤8．好点有8个．
综上：好点共有20个，其中△PEF的面积最大时好点P的坐标为P（2，7.5）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形面积的计算，解本题的关键是利用条件表示点的坐标．