Question

9．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点，点P从点A出发，沿AB-BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA-AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PQD的面积为S．
（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．
（2）当△PQD是等边三角形时，求t的值．
（3）当S＞0时，求S与t的函数关系式．
（4）若点D关于直线PQ的对称点为点D′，且S＞0，直接写出点D′落在△ABC的边上时t的值．

Answer 1

分析 （1）根据当0≤t≤2和2≤t≤3时两种情况进行解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和AAS证明△BPD与△CDQ全等解答即可；
（3）根据当0≤t≤2和2＜t＜3时两种情况，利用三角函数和三角形面积公式解答即可．
（4）根据点D′落在△ABC的边上两种情况解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴当0≤t≤2时，BP=2-t；
当2≤t≤3时，BP=t-2；
（2）如图1，∵△PQD是等边三角形，

∴∠PDQ=60°，
∴∠PDB+∠CDQ=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠PDB+∠BPD=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵BD=CD，
在△BPD与△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPD=∠CDQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CDQ（AAS），
∴BP=CQ，
∴2-t=t，
∴t=1，
（3）当0≤t≤2时，如图2，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB•sin60°=$\sqrt{3}$，
分别过点P，Q作PE⊥BC，QF⊥BC，垂足分别为点E，F，
在Rt△BPE中，∠BEP=90°，PE=PB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（2-t）$，
在Rt△QCF中，∠QFC=90°，QF=CQ•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}t$，
过点Q作QG⊥AB于点G，
在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，QG=AQ•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（2-t）$，
∴S_△PQD=S_△ABC-S_△BPD-S_△QCD-S_△APQ，
∴${S}_{△PQD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}（2-t）-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}（2-t）t$，
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当2＜t＜3时，如图3

过点Q作QH⊥BC于点H，
在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，
QH=CQ•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（4-t）$，
∴${S}_{△PQD}=\frac{1}{2}PD•QH=\frac{1}{2}×（3-t）×\frac{\sqrt{3}}{2}（4-t）=\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{7\sqrt{3}}{4}t+3\sqrt{3}$，
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{7\sqrt{3}}{4}t+3\sqrt{3}$．
（4）点D′落在△ABC的边上，如图4，此时t=1；

点D′落在△ABC的边上，如图5，此时t=2.5．

点评 本题是一道综合性较强的题目，考查了等边三角形的判定和性质、三角函数的性质，是中考压轴题，难度较大．