Question

4．如图，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE=$\frac{1}{4}$AD，过AB的中点F作HF⊥EC于点H．
（1）求证：FH=FA；
（2）求EH：HC的值．

Answer 1

分析 （1）如图所示：连接EF，CF．设正方形的边长为4a，则AE=a，AF=BF=2a．由勾股定理得：EF=$\sqrt{5}a$，FC=2$\sqrt{5}$a，EC=5a．从而可证明△EFC是直角三角形，利用面积法可求得FH=2a，于是得到FH=FA；
（2）在Rt△EFH中，由勾股定理得：HE=a，从而得到HC=4a，故此可求得EH：HC=1：4．

解答 解：（1）如图所示：连接EF，CF．

设正方形的边长为4a，则AE=a，AF=BF=2a．
由勾股定理得：EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，$FC=\sqrt{B{F}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，EC=$\sqrt{D{E}^{2}+D{C}^{2}}$=5a．
∵$（\sqrt{5}a）^{2}$+（2$\sqrt{5}$）²=25a²，
∴EF²+FC²=EC²．
∴△EFC是直角三角形．
∴CE•HF=EF•FC，即$5a•HF=\sqrt{5}a•2\sqrt{5}a$．
解得：FH=2a．
∴FH=FA．
（2）由勾股定理得：HE=$\sqrt{E{F}^{2}-F{H}^{2}}$=a．
∵HC=EC-EH，
∴HC=5a-a=4a．
∴EH：HC=a：4a=1：4．

点评 本题主要考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，利用面积法求得FH的长是解题的关键．