Question

3．如图，已知等腰Rt△ABC中，AC=BC，点D是线段AB下方一动点，且满足∠CDB=45°，过点A作AE⊥CD交CB于点E，交CD于点F，求证：AF=DF．

Answer 1

分析 连接AD．设AB与CD相交于点G，先证明△AGC∽△DGB，由此得$\frac{CG}{BG}=\frac{AG}{DG}$，再证明△CGB∽△AGD，从而得∠CBG=∠ADG=45°，然后根据等腰直角三角形的判定与性质证明结论成立即可．

解答 解：如下图所示：连接AD．设AB与CD相交于点G

∵等腰Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CDB=∠CAG=45°，
又∵∠AGC=∠BGD（对顶角相等）
∴△AGC∽△DGB
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{AG}{DG}$
又∠CGB=∠DGA（对顶角相等）
∴△CGB∽△AGD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴∠CBG=∠ADG=45°
又∠AFD=90°
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AF=DF

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，解题的关键是应用相似的判定与性质证明∠ADF=45°．