Question

3．如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD的四条边的中点，连接EF、FG、GH、HE，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 连接AC、BD，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，根据三角形中位线定理证明EF⊥EH，得到答案．

解答 证明：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E、F分别是AB、BC上的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理，HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
则EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴HG∥BD，又∵EF∥AC，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．

点评 本题考查的是菱形的性质、矩形的判定、三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和矩形的判定定理是解题的关键．