Question

6．己知：在四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）如图1，若四边形ABCD为平行四边形，求证：四边形GEHF是平行四边形．
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，设$\frac{AD}{AB}$=n．请你给出一个n的值，使四边形GEHF为矩形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线定理只要证明EG=HF，EG∥FH即可．
（2）结论n=$\sqrt{3}$，如图2中，连接GH，交BD于O，连接AO，先证明△ABO是等边三角形，再证明AB=EF，GH=AB，得EF=HG，即可证明．

解答 （1）证明：如图1中，∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AG=GD，BH=CH，
∴EG=$\frac{1}{2}$AD，HF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠GDE=∠GED，∠HBF=∠HFB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠GDE=∠HBF，
∴EG=FH，∠GEF=∠HFE，
∴EG∥HF，
∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）当n=$\sqrt{3}$时，四边形GEHF为矩形．
证明：如图2中，连接GH，交BD于O，连接AO．
由（1）可知，四边形GEHF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，∠ADB=30°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，∠EAD=60°，∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，同理DF=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴BE=DF，BO=OD，
∴AO=BO=DO，
∵∠ABD=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO，∵AE⊥BO，
∴BE=EO，
∴EF=2BE=AB，
∵AG∥BH，AG=BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB=GH=EF，∵四边形GEHF是平行四边形，
∴四边形GEHF是矩形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的判定等知识，灵活运用这些知识是解决问题的关键，属于中考常考题型．