Question

20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．
∵S_{四边形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{四边形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴a²+b²=c²
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a²+b²=c²
证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b-a．
∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴a²+b²=c²．

Answer 1

分析 首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S_{五边形ACBED}，两者相等，整理即可得证．

解答 证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b-a，
∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，
又∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABD+S_△BDE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴a²+b²=c²．
故答案为：BD，BF⊥DE于F，BF=b-a，$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，S_△ACB+S_△ABE+S_△ADE，$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．

点评 此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．