Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=4，OF：OA=2：5，求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AECF是平行四边形，证明FC=FA即可．
（2）求出AC，根据S_菱形AECF=$\frac{1}{2}$•AC•EF计算即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB∥CF，
∴∠FCO=∠EAO，
∵D是AC中点，
∴OA=OC，
在△COF和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠EAO}\\{CO=AO}\\{∠COF=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△FCO≌△AEO，
∴OF=OE，∵OC=OA，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵OF⊥AC，OA=OC，
∴FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）由（1）可知OE=OF，
∵EF=4，OF：OA=2：5，
∴OF=2，OA=5，
∵AC=2OA，
∴AC=10，
∴S_菱形AECF=$\frac{1}{2}$•AC•EF=$\frac{1}{2}$×10×4=20．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．