Question

5．已知函数y=x²-2ax+1（a为常数）在-2≤x≤1的最小值为n，试将n用a表示出来．

Answer 1

分析 可求得抛物线的对称轴为x=a，再分a＜-2、-2≤a≤1和a＞1三种情况，根据二次函数的单调性分别求得函数的最小值，即可得到a与n的关系式．

解答 解：
∵y=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，
∴函数的对称轴方程为x=a，开口向上，
当a＜-2时，在-2≤x≤1上，y随x的增大而增大，
∴当x=-2时，y有最小值，最小值为5+4a，即n=5+4a；
当-2≤a≤1时，在-2≤x≤1上，y有最小值1-a²，即n=1-a²；
当a＞1时，在-2≤x≤1上，y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为2-2a，即n=2-2a；
综上可知n=$\left\{\begin{array}{l}{5+4a（a＜-2）}\\{1-{a}^{2}（-2≤a≤1）}\\{2-2a（a＞1）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．