Question

18．如图，在直角坐标系中，⊙E的半径为5，点E（1，-4）．
（1）求弦AB与弦CD的长；
（2）求点A，B坐标．

Answer 1

分析 （1）先过E作EF⊥AB于F，作EG⊥CD于G，根据垂径定理得出BF=$\frac{1}{2}$AB，CG=$\frac{1}{2}$CD，再根据⊙E的半径为5，E（1，-4），运用勾股定理求得BF和CG的长，即可得出弦AB与弦CD的长；
（2）先根据E（1，-4），EF⊥AB，得出F（1，0），再根据AF=BF=3，即可得出OB=1+3=4，AO=3-1=2，进而得到点A，B坐标．

解答 解：（1）如图所示，过E作EF⊥AB于F，作EG⊥CD于G，则BF=$\frac{1}{2}$AB，CG=$\frac{1}{2}$CD，
∵⊙E的半径为5，E（1，-4），
∴BE=5，EF=4，GE=1，
∴Rt△BEF中，BF=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
Rt△CEG中，CG=$\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴AB=2BF=6，CD=2CG=4$\sqrt{6}$；

（2）如图所示，∵E（1，-4），EF⊥AB，
∴F（1，0），
又∵AF=BF=3，
∴OB=1+3=4，AO=3-1=2，
∴A（-2，0），B（4，0）．

点评 本题主要考查了垂径定理与勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用垂径定理以及勾股定理求得线段的长度．