Question

10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD=$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；
（2）证明方法一、先判断出EO为△AFC的中位线，再由EO∥BC得出$\frac{OE}{BC}=\frac{EM}{CM}$，进而利用直角三角形得出CM=$\sqrt{2}$EM，再判断出△CBN∽△COM得出比例式，进而得出CN=$\sqrt{2}$CM，即可得出结论．
证明方法二、先判断出∠OEC=∠OCE，再判断出∠NBC=∠COM=90°，进而得出△CBN∽△COM，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB²=BD²，
∵BD=$\sqrt{2}$，
∴AB=1，
∴正方形ABCD的边长为1；

（2）CN=2EM
证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC
∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，AE=FE
∴EO为△AFC的中位线
∴EO∥BC
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{EM}{CM}$
∴在Rt△AEN中，OA=OC
∴EO=OC=$\frac{1}{2}$AC，
$\frac{OC}{BC}=\frac{EM}{CM}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
∴CM=$\sqrt{2}$EM
∵CE平分∠ACF，
∴∠OCM=∠BCN，
∵∠NBC=∠COM=90°，
∴△CBN∽△COM，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴CN=$\sqrt{2}$CM，
即CN=2EM．

证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°=∠DBC，
由（1）知，在Rt△ACE中，EO=$\frac{1}{2}$AC=CO，
∴∠OEC=∠OCE，
∵CE平分∠ACF，
∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，
∴EO∥BC，
∴∠EOM=∠DBC=45°，
∵∠OEM=∠OCE
∴△EOM∽△CAN，
∴$\frac{EM}{CN}=\frac{EO}{CA}=\frac{1}{2}$，
∴CN=2CM．

点评 此题主要考查了相似三角形的判断和性质，三角形的中位线，角平分线的定义，利用比例式判断出CM=$\sqrt{2}$EM和CN=$\sqrt{2}$CM是解本题的关键．