Question

13．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 延长BA和CE交于点M，首先证明△BME≌△BCE可得EM=EC=$\frac{1}{2}$MC，再证明△ABD≌△ACM可得DB=MC，利用等量代换可得BD=2CE．

解答 证明：延长BA和CE交于点M，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=∠BEM=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠MBE=∠CBE，
在△BME和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠MBE}\\{BE=BE}\\{∠BEM=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△BCE（ASA），
∴EM=EC=$\frac{1}{2}$MC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠MAC=90°，BA=AC，
∴∠ABD+∠BDA=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠ACM+∠CBE=90°，
∵∠BDA=∠EDC，
∴∠ABE=∠ACM，
在△ABD和△ACM中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACM}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠MAC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴DB=MC，
∴BD=2CE．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是正确证明EM=EC=$\frac{1}{2}$MC和DB=MC．